A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in space dimension three

A maximum principle is proved for the weak solutions u ∈ L∞(R× T3) of the telegraph equation utt − xu + cut + λu = f (t, x), in space dimension three, when c > 0, λ ∈ (0, c2/4] and f ∈ L∞(R × T3) (Theorem 1). The result is extended to a solution and a forcing belonging to a suitable space of bounded measures (Theorem 2). Those results provide a method of upper and lower solutions for the semilinear equation utt − xu + cut = F(t, x,u). To cite this article: J. Mawhin et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1089–1094.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Un principe du maximum pour les solutions bornées de l’équation des télégraphistes en dimension spatiale trois Résumé On démontre un principe du maximum pour les solutions faibles u ∈ L∞(R × T3) de l’équation des télégraphistes utt − xu + cut + λu = f (t, x) en dimension spatiale trois lorsque c > 0, λ ∈ (0, c2/4] et f ∈ L∞(R × T3) (Théorème 1). Le résultat est étendu à une solution et un terme forçant appartenant à un certain espace de mesures bornées (Théorème 2). Ces résultats fournissent une méthode de souset sur-solutions pour l’équation semilinéaire utt − xu + cut = F(t, x,u). Pour citer cet article : J. Mawhin et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1089–1094.  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit T=R/2πZ le cercle unité. Le résultat principal de cette Note est le Théorème 1. THÉORÈME 1. – Pour chaque λ ∈ (0, c2/4] et chaque f ∈ L∞(R×T3), le problème Lu+ λu := utt − xu+ cut + λu= f (t, x) dans D′ ( R×T3), u ∈ L∞(R×T3) a une solution unique. En outre, si f 0 p.p. in R× T3, alors u 0 p.p. dans R×T3. E-mail addresses: [email protected] (J. Mawhin); [email protected] (R. Ortega); [email protected] (A.M. Robles-Pérez).  2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S1631-073X(02)02406-8/FLA 1089 J. Mawhin et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 1089–1094 L’existence et le principe du maximum se démontrent d’abord pour λ= c2/4 en construisant une mesure positive U3 telle que u= U3 ∗ f. Le cas où λ ∈ (0, c2/4) s’en déduit en écrivant l’équation sous la forme Lu+ (c2/4)u= f (t, x)+ [(c2/4)− λ]u. La condition sur λ est optimale. Le théorème est étendu comme suit à des mesures bornées. On désigne par E l’ensemble des mesures μ sur R×T3 telles que l’ensemble Eμ défini par {〈μ,φ〉 : φ ∈ C0(R×T3), ‖φ‖∞ = 1, supp(φ)⊂ [h− π,h+ π] ×T3, h ∈R} soit majoré. C’est un espace de Banach pour la norme ‖μ‖E = supEμ. THÉORÈME 2. – Pour chaque λ ∈ (0, c2/4] et chaque μ ∈ E, le problème ηtt − xη+ cηt + λη= μ dans D′ ( R×T3), η ∈ E, a une solution unique. En outre, η 0 si μ 0. Pour démontrer le Théorème 2, on définit une norme sur L∞(R× T3) qui coïncide avec celle de E pour les mesures du type f dt dx , et, dans ce cadre, on estime la norme de la solution u en termes de celle de f (Lemme 3). On approche alors μ, au sens de la convergence vague, par une suite de mesures fn dt dx avec fn ∈ L∞(R×T3), et on passe à la limite pour une sous-suite convenable. Ces résultats permettent l’élaboration d’une méthode des souset des sur-solutions pour le problème utt − xu+ cut = F(t, x,u) dans D′ ( R×T3), u ∈ L∞(R×T3) lorsque u → F(t, x,u)+ (c2/4)u est croissante.